![\"Fr\u00e9quence](\"https:\/\/www.auditsi.eu\/wp-content\/uploads\/2013\/12\/Fr\u00e9quence-Loi-de-Benford.png\")
<\/a>Fr\u00e9quence d’apparition de chaque chiffre significatif selon la Loi de Benford<\/p><\/div>\n
Le commissaire aux comptes et l’expert-comptable (missions de grande r\u00e9vision) disposent d’outils simples d’aide \u00e0 la d\u00e9tection de la fraude. J’en avais expos\u00e9 deux exemples dans mon m\u00e9moire d’expertise-comptable<\/a> : un tableau de bord comptable synth\u00e9tique (sous la forme d’un tableau crois\u00e9 dynamique) et l’utilisation de la loi de Benford (il s’agit d’une loi math\u00e9matique et non pas d’une \u00e9ni\u00e8me invention r\u00e9glementaire ch\u00e8re \u00e0 notre l\u00e9gislateur). Ces deux outils pratiques, ais\u00e9s \u00e0 mettre en oeuvre sous EXCEL, sont une bonne introduction \u00e0 l’analyse de donn\u00e9es. Ces outils ne sont pas infaillibles et ne permettent pas de d\u00e9tecter toutes les formes de fraudes, toutefois ils forment une panoplie d’indicateurs d’alerte qui orientent le professionnel du chiffre dans ses travaux tout en assurant son devoir de vigilance pr\u00e9vu par ses normes professionnelles.<\/p>\n C’est ce deuxi\u00e8me outil, la Loi de Benford, que je vais exposer ci-apr\u00e8s.<\/p>\n D\u00e9couverte d\u00e8s 1881 par l’astronme am\u00e9ricain Simon NEWCOMB, red\u00e9couverte vers 1938 par Frank BENFORD et d\u00e9montr\u00e9e en 1996 par Theodore P. HILL, la loi de Benford (ou loi des nombres anormaux) indique que la fr\u00e9quence d\u2019apparition du premier chiffre significatif d\u2019un nombre r\u00e9pond \u00e0 une distribution pr\u00e9d\u00e9termin\u00e9e. Le premier chiffre significatif d\u2019un nombre est le chiffre le plus \u00e0 gauche diff\u00e9rent de z\u00e9ro. Par exemple : le premier chiffre significatif de 1325,72 est 1, le premier de 0,753 est 7.<\/p>\n Le graphique (cf plus haut) montre que la fr\u00e9quence d\u2019apparition du chiffre 1 est de 30,10 %, celui du 2 de 17,61%… Cette fr\u00e9quence a \u00e9t\u00e9 observ\u00e9e, aussi \u00e9tonnant que cela puisse para\u00eetre, sur de nombreuses listes : longueur de fleuves, populations de pays… Les donn\u00e9es comptables n’\u00e9chappent pas \u00e0 cette r\u00e8gle. Le fisc am\u00e9ricain l’utilise pour d\u00e9celer les cas de fraude fiscale. En effet, les manipulations comptables du fraudeur seront susceptibles de ne pas respecter la distribution th\u00e9oris\u00e9e par la loi de Benford.<\/p>\n Application de la Loi de Benford sur un \u00e9chantillon d’\u00e9critures comptables<\/p><\/div>\n Le d\u00e9compte des chiffres significatifs observ\u00e9s dans l\u2019\u00e9chantillon des donn\u00e9es audit\u00e9es (ici des \u00e9critures comptables) est rapproch\u00e9 des fr\u00e9quences th\u00e9oriques calcul\u00e9es \u00e0 partir de la loi de Benford. Dans le graphique pr\u00e9c\u00e9dent, 30,50% des donn\u00e9es du grand livre audit\u00e9 (fr\u00e9quence observ\u00e9e) commencent par le chiffre 1 (pour m\u00e9moire, la loi de Benford pr\u00e9voit 30,10%, fr\u00e9quence th\u00e9orique).<\/p>\n L\u2019\u00e9cart entre les fr\u00e9quences observ\u00e9es et les fr\u00e9quences th\u00e9oriques est soumis au test du KHI DEUX (X\u00b2). Le KHI\u00b2 se calcule ainsi :<\/p>\n (fr\u00e9quence observ\u00e9e – fr\u00e9quence th\u00e9orique)\u00b2 \/ fr\u00e9quence th\u00e9orique<\/p>\n Tout r\u00e9sultat du test sup\u00e9rieur \u00e0 15,5 r\u00e9v\u00e8le une anomalie avec au plus 5 % de risque de se tromper. Pour reprendre notre exemple appliqu\u00e9 \u00e0 un grand livre, nous obtenons ceci :<\/p>\n R\u00e9sultat du Test du KHI\u00b2<\/p><\/div>\n Les nombres commen\u00e7ant par le chiffre 7 sont sous-repr\u00e9sent\u00e9s dans le grand livre. Cette observation g\u00e9n\u00e8re un Khi\u00b2 de 17,41 et potentiellement une anomalie (car Khi\u00b2 sup\u00e9rieur \u00e0 15,5). Reste \u00e0 trouver une explication…<\/p>\n Si la fr\u00e9quence d\u2019apparition des chiffres significatifs d\u2019une liste donn\u00e9e diff\u00e8re sensiblement de celle de la loi de Benford, on peut supposer que nous sommes en pr\u00e9sence d\u2019anomalies ou, dans le cadre de donn\u00e9es comptables ou financi\u00e8res, de fraudes.<\/p>\n L\u2019absence d\u2019anomalie r\u00e9v\u00e9l\u00e9e par la loi de Benford ne signifie pas n\u00e9cessairement qu\u2019il n\u2019y a aucune fraude. Il s\u2019agit simplement d\u2019un indicateur.<\/p>\n L\u2019application de la loi de Benford conna\u00eet tout de m\u00eame une exception : les nombres ne doivent pas \u00eatre contraints ou biais\u00e9s par un param\u00e8tre qui entra\u00eenerait une surrepr\u00e9sentation d\u2019un chiffre donn\u00e9. Imaginons le cas d\u2019une billeterie qui vend des entr\u00e9es au prix unique de 6 \u20ac. La fr\u00e9quence d\u2019apparition du chiffre 6 attirera l\u2019attention sans qu\u2019il y ait pour autant d\u2019anomalie r\u00e9elle.<\/p>\n Une fois les conclusions tir\u00e9es, il suffit d\u2019extrapoler le r\u00e9sultat de l\u2019\u00e9chantillon sur la population toute enti\u00e8re avec un niveau de confiance de 95 % et le cas \u00e9ch\u00e9ant rechercher les \u00e9l\u00e9ments probants \u00e9tayant la fraude (ou l’anomalie).<\/p>\n Le lecteur pourra utilement se r\u00e9f\u00e9rer \u00e0 l’article intitul\u00e9 \u00ab Loi de Benford \u00bb consultable \u00e0 cette adresse URL : http:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Loi_de_Benford<\/a> notamment pour en savoir plus sur l\u2019histoire de la d\u00e9couverte de cette loi et comprendre la r\u00e8gle math\u00e9matique prescrivant la fr\u00e9quence d\u2019apparition.<\/p>\n Mise \u00e0 jour du 7\/01\/2014 :<\/em><\/p>\n Plusieurs lecteurs m’ont fait observ\u00e9 qu’ils ne parvenaient pas \u00e0 recalculer le Khi\u00b2 \u00e0 partir de l’exemple du pr\u00e9sent article.<\/p>\n En fait, le Khi\u00b2 est obtenu \u00e0 partir des fr\u00e9quences absolues. Or, le tableau publi\u00e9 plus haut ne reprend que les valeurs relatives, induisant de fait le lecteur attentif en erreur.<\/p>\n Le tableau ci-apr\u00e8s reprend l’ensemble des donn\u00e9es chiffr\u00e9es n\u00e9cessaires au calcul du Khi\u00b2 :<\/p>\n Je vous remercie de vos observations. Au passage, je constate que la loi de Benford intrigue et int\u00e9resse les lecteurs de ce blog. N’h\u00e9sitez pas \u00e0 me faire part de votre exp\u00e9rience avec la loi de Benford.<\/p>\n En savoir plus sur le sujet :<\/em><\/p>\n D\u00e9couvrir tous les articles en rapport avec la fraude<\/a>.<\/p>\n Un exemple d’application d’analyse de donn\u00e9es mettant en oeuvre la loi de Benford<\/a>.<\/p>\n<\/a><\/a><\/a>Exemple : (2100-2073)^2\/2073=0,3599<\/p>\n